备忘录:数学、玄学与科学

备忘录:数学、玄学与科学

数学是科学吗?数学和玄学会有关系吗?科学在何种层面上会需要数学呢?为什么数学意义上正确的东西,对科学来讲依旧不够?

数学

数学,这里所指的不是普通人所理解的「算术」,而是以「集合论」为出发点所构筑的现代数学公理体系。数学的核心,不是具体的算术,而是公理体系下对各种逻辑可能性的探索。

公理体系

面对这样的 modern mathematics,一个首先亟需回答的问题就是:为什么需要如此繁复且枯燥的公理体系?

而由这个问题所衍生开来的,则是另外一些让普通人、甚至是很多数学系的学生都特别不理解的事情是:为什么需要去「证明」没有最大的偶数?为什么需要「证明」二次函数处处可导?这些不都是显然的结论吗?为什么还要去搞一些所谓的证明?用正确的事情去证明正确的事情,这样的事情有意义吗?还是脑袋秀逗了?还是数学家的故作深沉?还是做数学的做得太多了,都把脑袋做糊涂了?

要回答上面这个根本的问题,就必然牵涉到数学的两个基本而强大的特征:严密性和通用性:

  • 所谓严密性,指的是一切结论,都必须由严格的逻辑步骤来推导;
  • 所谓的通用性,其实就是大众所谓的“举一反三”的能力,其本质是抽象的能力。

严密性

要保证严密性,其方法论就是:要得出结论A,那么,是否可以由更简单、更直观的结论B、C推导出来?而结论B和C,又是否有可能由更简单的结论B1、B2、C1、C2、C3推导出来?如此往复下去,我们不禁要问,是否存在最最简单、不能拆分为更简单的「初始」结论?

那么数学对这个问题给出的答案就是:由「符号」给出的结论。所谓「符号」,指的是一种标识,它仅有一个属性,即:用来区分于其它东西的 identity。它只包含这么一个能够让自己区分于「其它」的身份属性。从人的认知角度讲,这就是不能再做拆分的材料,因为你至少需要识别你要讨论的「物」。所谓巧妇难为无米之炊,这个「物」的表征,即需要一个可识别的标识。而符号,仅包含这么一个属性,可以说是当之无愧的「物」的基石。

基于符号的这种不可拆分性,数学决定用符号作为自己的基石,也即是集合论所处理的材料。然后根据引入的符号,来构建符号与符号之间的先验的、定义为正确的公理。如此,由引入的「符号」和这些符号所定义的「公理」,通过逻辑推演的方式,来产生其他的结论。由这些结论,继续通过逻辑推演产生更多结论的体系。我们将所有的“由引入的符号以及符号所定义的公理”能够通过逻辑推演产生的结论的全体,称之为一个你所定义的公理体系。

也即是,通过这样的产生结论(命题)的方法论,我们可以保证两点:1、每个结论都可以被拆分为可由逻辑推演产生的更简单的结论。2、按照1的方式不断拆分下去,最终一定可追溯到符合或者是由符号所定义的公理。

有了这两点,我们可以说,这个公理体系是极其严密的,因为在它其中的每个结论,都是通过逻辑链、从符号定义衍生出来的,即一棵倒置的数的关系。这即是数学产生结论、产生知识的方法论。

到这里,我们已经可以回答最开始说的一个令人困惑的问题了:为什么要「证明」“没有最大的偶数”这个显然的结论?因为这里的“显然正确”,并不是一个符合上述「生产公理体系结论」的方法论。所谓的「显然」,只是你自己对这个结论的直观感受,但这个结论能够由哪些基本的数学符号和公理、通过什么样的逻辑步骤推演出来,这其实是未知的,同时也是复杂的、非显然的。所谓的数学证明,其本质就是让你完整展示出:如何由符号定义的公理通过哪些逻辑链条的连接,就可以推导出你要证明的数学结论。

这样做有什么好处和必要性?好处就是,如果每一个数学结论都有相应的数学证明,即:每个数学结论都知晓如何由基本公理推导成当前结论的逻辑链,那么我们就能保证这个结论体系,也即是数学公理体系是坚实、牢固和严密的。

所以,之所以要做出如此繁琐、看似无事找事的数学证明,就是为了让每个结论,都严格满足数学公理体系「生产结论」的方法论。只有保证了每个结论都是按照种方式生产的,才能保证数学大厦的严密和坚固。因而数学家才会常常说:数学,是由证明构成的。

通用性

再来是「通用性」,即举一反三的能力。所谓一举一反三,按照字面意思来讲就是你通过学习一样东西,领悟到其精髓,就能灵活应用于其它三件事情上(当然,从文言文角度讲,数字3其实是虚指,是多的意思)。这个解释相对模糊,如果更为精准地去考虑的话,那无非是说,你通过学习一件具体的事情,能够发现一个「抽象的模式」。然后你为这个抽象的模式,再套入其它事情所对应的场景和限制条件,就成了别的事情的解决方案。

由此可知,举一反三的能力就是对具体事务的抽象能力,能否识别出一件事情背后的抽象的、更通用的模式,进而就能解决更多别的问题。所谓的「本质」,其实就是这个能够统一多件事情的抽象模式。而学习的层级,也是按照这个方向发展的。小学时,大家特别容易得满分。而到了高中、大学,几乎不再会去奢望满分这个事情。为什么?因为小学的教育要求,是学习了材料A,就测试你是否掌握了A。而大学、人生的问题,则是你学习了材料A,让你去解决不同的问题B、问题C。这就要求你必须找出材料A同问题B、C内在联系,识别出相同的、相似的抽象模式,才能将问题解决。而这一学习过程的困难等级则要高得多。

而数学的符号公理体系的另一个作用,即是用于实现这个目标。总是先开始一些具体的计算,然后考虑用符号(最粗浅的,即是未知数x、y、z)来进行推导、归纳、描述。在这里,这些抽象的符号,即是一个个的占位符。使用这些没有任何多余性质的东西来表示抽象的模式,实在是最为恰当不过的。也即是:数学使用了极其精准的方法论,来系统地讨论「抽象模式」,而不是停留于哲学上的思辨。

(而精准的实现,正是依靠了「符号」(占位符)、符号所定义的逻辑链操作(公理),以及任何结论必须由前面两者生成的产生要求。)

通过不断地积累使用数学符号来表述观点、想法的训练,做数学的人便能逐渐掌握从现象中识别抽象模式的技能。大众所谓的经受过数学训练的人往往比较聪明,其实指的就是这种在纷繁现象中提取抽象模式/本质的能力。

由「通用性」还能产生一个极为精妙的方法论,即:为了解决一个特殊的小问题,可以通过尝试解决一个更一般的、宏观大问题来实现。例如,在代数历史的发展中,为了解决一个关于「整数」的问题而不得不引入「无理数」、引入「复数」这样更大的集合来构建解决方案。

从外部来看,这个方法论相当神奇,按道理讲,如果一个问题在局部都无法解决,怎么可能在更大的、更通用的范围内被解决?强行用个不大恰当的比喻,这有点像一屋不扫何以扫天下。

但这里的精义就在于,有时候,你之所以无法去解决一个局部问题,是因为你被限制在了局部的细节和狭小中,无法看到宏观的整体图景与脉络,于是就无法看到可能的解决方案。还是用比喻来描述,至少有两种理解视角:

  • 这就像是坐在枯井中的青蛙,如果只是看到井口大小的蓝天,是无法构想出任何「找到水源」的方案的。但是,如果你能的视野能够超越井口,那么你将看到山川大河,就能够通过新发现的材料构建新的解决方案。
  • 又或是,或许你要解决的这个问题,需要用到的是一个宏观的整体性质。但是,局部问题本身,会让你陷入细节,无法更直观和清晰地去看到整体性质。而通过去除局部细节,通过抽象的方式跳到更宏观、更一般的世界时,宏观的线条/属性反而能够一下子凸显出来(矩阵的强大,正是源自于此)。这就像:在方圆10里的视角之下,你无法找到解释日出日落四季更迭的合理解释。但如果你能跳出地球、看到球星的宏观表现时,宏观性质就会自然凸显。

将一切问题和结论通过数学符号和公理体系来刻画,就是一个不断抽象、不断探寻更一般世界的过程。

这是数学以「公理化体系」的方式对「本质」的追求。

玄学

从上面对数学的讨论可以发现,数学其实是逻辑的游戏,但至于这个逻辑的出发点来自何处、是什么,它是毫不关心的。因为每一个出发点都是抽象的符号,都可以被用来替换为任何具体的概念、想法。某种意义上讲,这是数学人的通透,可以接受任「何观点」作为出发点,只要你通过这些东西构建的体系是逻辑自洽的(即不会在逻辑链的推理上出现彼此矛盾 ),那么都是可以接受的。

那么,一个有意思的问题便是,既然可以以任何东西作为出发点,那么具体地,我到底应该以什么为出发点来构建我想创建的一个逻辑体系呢?

这个问题本身,其实已经反映了数学的其中一个重要属性:工具属性。它本身不产生任何观念,它是为观念的逻辑推演和由此能够产生的可能性服务的。也即是,真到了决定应该“以什么为出发点”时,这其实取决于你自己的偏好、偏爱、偏见和一厢情愿。

而这东西,不恰好是很多的玄学所做的事情吗。一厢情愿地以一些抽象的、无法被证伪的概念作为出发点,如「气」「势」「度」(它们都可以被看作是一个个的符号,当然也可以被替换为字母x、y、z),开始大谈逻辑推演,然后在其中夹带一些模棱两可的、没有被严格检验的私心,开始按照自己的利益对其他人开始洗脑。

从原始出发点来讲,数学和玄学其实没有区别,都是通过不可证伪的、没有人知道其具体含义的符号作为起点。只不过,数学使用了更具备客观性、不会产生主观情绪的、冷冰冰的字母符号作为中立占位符;而玄学会故意使用一些和生活息息相关的常用词汇作为它的占位符,以此来实现相应的心理暗示。

(其实,这也揭示了为什么数学要选择字母符号、或者使用一些生活中不常使用的奇怪符号。这并非是为了故意高深莫测(当然,其实现在有一大帮尸位素餐的人正是为了高深而高深),而是为了避开各种心理暗示造成的对符号的偏见理解,从而降低数学公理体系想要实现的符号「通用性」。符号本身应该只具备「辨识」这一个属性,但却可能因为使用了生活词汇作为符号,而被赋予多余的含义和属性,这就本末倒置了。)

虽然出发点相同,但数学优于玄学的地方就在于数学要严格控制每一个结论,都必须要这些出发点通过严密的逻辑推演来「证明」。而玄学,就像一开始的那个“没有最大的偶数”一般,会把「显然」作为解释的理由,不断地开始天马行空的推演,以至于到后来你根本无法区分,哪一些结论是具备坚实基础的、哪一些是不具备基石的瞎忽悠。

也即是,如果抛开「证明」这个最重要的武器,数学其实就是玄学。但因为有了「证明」的严格把关,数学这座大厦才成为了人类生产与发展的重要工具。当然,从积极意义上来讲,通过对比与「玄学」的关系,你可以更深刻地体会数学的「自由」。即:数学的公理体系甚至可以由一堆胡说八道的东西来构建,只要这个体系不会出现逻辑上的矛盾,那么数学就允许这样的存在。

例如,非欧几何的发现,就是将「三角形内角和小于180度」这样一个在当时看来完全是胡说八道的东西作为基石,开始了另一番的推演。虽然最后人们发现,原来在球面上这个性质还真的存在,但是,从数学的公理体系上讲,引出这个假设前提并不是非得找到物理世界的对应现象,只要不产生逻辑矛盾即可。最极端的,你的数学大厦甚至可以由玄学来构建,只要你的技艺足够高超、能够找寻到不会出现矛盾的玄学概念作为基石,那么,这个体系本身同样可以算作是数学。

科学

由上一段的讨论已经可以看到一点「科学」与「数学」的一个重要区别了:「科学」最关心的是可观测的现实,一切结论的评判都依托于现实的观察;而「数学」最关心的是逻辑自洽,只要逻辑自洽,无论你的结论是否可以在现实中被观察到,都是无关紧要的。换句话说,数学关心的是形而上的逻辑自洽,而科学关心的则是形而下的现实观测。

可证伪性

但什么是科学的观测?或者说,什么叫做科学?对科学来讲,最重要的概念叫做「可证伪」,即:你提出的一个科学结论,必须满足一个重要性质:这个结论存在能够被可观测的、可不断重复再现的实验结果推翻的可能性。

例如,“我昨晚在家里看见了外星人”这样一个结论,我们不能说它是错误的,但一定可以说它是不科学的、不是一个科学范畴内所讨论的问题。因为它不满足可证伪性:无法为这个结论提供一个可观测的、可重复操作的实验来证明它是错的。又或者是,“他们俩八字不合,将来不会幸福”这样一个结论,也是一个不科学的结论,因为这个结论中没有定义清楚什么是可观察的「不合」的测量?什么又是可观察的「幸福」的测量。

由此可知,科学所解决的问题范围其实非常狭小,它并非是解决一切问题的万能药。因为很多问题,根本就无法被归属为科学的范畴,那就更谈不上应用科学来解决它了。但有意思的是,科学通过对自己边界和能力的限制,反而能够对整个人类产生更为宏大且深刻的影响。就像《头文字D》中的高桥凉介为了同拓海对战而调低自己的马力:为了快一点就需要慢一点。赛车如是,投资如是软件工程亦如是

如果一个结论能够被可观测的、可重复操作的实验证伪,那么它越是容易被证伪,它的科学可信度就越高。「奥姆剃须刀原则」其实就是对它的一种应用。因为,如果一个现象能够同时被可证伪的理论A和理论B所解释,而理论A的条件要少于理论B,那么显然理论A则更有可能被证伪(因为它少了其它条件来防止自己被证伪),则理论A具有更高的科学可信度,进而科学家会更倾向于采用理论A。

那么,按照这个标准,数学是否具备可证伪性呢?显然是不具备的。首先,数学命题的出发点,都是抽象的符号和由此而定义的公理。无论是符号还是公理,都不必依托于对现实的观测。既如此,数学首先就不满足“必须要有一个可观测的实验来验证”这一性质。所以,数学其实不是科学。

那为什么又说数学是科学的皇冠呢?因为虽然数学不满足科学对结论的验证,但科学中的一切严密的逻辑推理和所需要构建的抽象理论,都必须依靠数学的「严密性」和「通用性」。数学世界的逻辑训练和成果,就像是科学的兵器库,能够为其提供解决问题的工具。它符号的抽象性,恰好能够套用上科学上各种具体的现实观察,从而去细致考察现象的本质和理论的适用范围。也即是,数学虽然不是科学,但它却是科学的重要工具。就像是,打造武器并不是治国、理政、打天下,但治理天下却离不开武器的协助。

正因为数学不满足科学的可证伪性,所以,如果一门科学即便是在数学理论的推导上完全成立,也不能被科学界所接纳,而只能当做一个备选的、可能的猜想。因为最终决定它能否被纳入科学的范畴,都需要依靠可测的、可重复操作的实验来验证。由此就能够理解,虽然爱因斯坦的最高成就是相对论,但他获得诺贝尔奖却并非是因为相对论。因为在他获得诺贝尔奖的时候,相对论只是一个数学上正确的概念,还没有实验的验证。因此,它不被纳入科学的范畴完全是合情合理的。

绝对正确

由科学必须满足可证伪性的特点,我们还能顺带解释一下为什么数学结论一旦被证明是正确的,就永远是正确的,而科学结论却不是。也即是,抽象的看,似乎数学可以存在可以一直保持为「真」的绝对真理,而科学结论却不行,其结论永远面临被推翻的风险。

一个简洁而晦涩的回答是:因为数学定义了正确,所以它是绝对正确的。

什么意思?从讨论「数学」的部分我们已经知晓,作为数学公理体系的基石是被定义的「符号」和由符号所定义的「公理」。无论是符号还是公理,它都是被“定义”为正确的,而不需要有什么第三方来验证它的正确性,即:它们都是先验正确的。

但科学不同,科学追溯到的、类似于数学公理那一层的基石,并非是被定义为正确的,而是一个可以被现实实验所推翻的一个猜测、命题。所谓的可证伪性,本身也就意味着这些基石必须是能够被实验所推翻的。既是能够被实验所推翻,那么即便这个结论经历了千万年都没有找到可以推翻它的实验,但也不意味着不会在明天、在后天就会出现这么一个实验,能够把这个作为基石的猜测推翻。

所以,在科学上,任何的结论都存在可修改的空间,因为每一个结论都无法排除在未来可能被一个可观测实验推翻的可能性。而科学的这个特性,并非仅仅意味着沮丧,更是意味着科学的任何结论能够不断地进化和修正,而不会滞后于每个时代的最新发现。

同样,也正是因为科学结论不存在像数学一般的绝对正确,所以严格来讲,讨论科学理论的「正确性」其实是不大合理的,对科学结论的评判应该是:这个结论/理论在当前已有的实验支撑范畴下,是否是合适的、是有用的。

一个例子是:虽然相对论比起牛顿力学来讲具备更大尺度的“正确性”,但在地球上,所有相对论能够揭示的事情,牛顿力学都能揭示。但牛顿力学在计算和理论细节方面,却比相对论简单得多。此刻,仅仅是一句相对论比牛顿力学正确,其实是没什么意义的。较为妥当的、建设性的视角或许是:在地球范围内,牛顿力学比相对论更为方便好用;但在宇宙级的大尺度下,牛顿力学将不再适用,而只能应用相对论来做现象的解释与预测。

总之,区分数学和科学的关键分水岭,就是命题的可证伪性。而如果把它们混为一体,则很容易出现认知上的分裂与崩溃。例如,物理学中的「不受力的质点要么静止,要么做匀速直线运动」,如果你要问,它如何像数学那样被证明,这就会让你奔溃。因为物理学并未将其当做一个「绝对正确」的结论,只是将其当做一个“在一定范围内适用”的、可以继续往下推演的假设基础。你当然可以选择不将其当做假设,而重新构建一套自己的物理体系,也是完全没有问题的。但如果你不知道物理学和数学在方法论上的差异,那么你就很可能走火入魔,感觉似乎整个科学体系都是混乱的、不严格的。

另:虽然从方法论的角度讲,数学理论“应该”是绝对正确的。但从实操角度讲,这一点并没有什么绝对保障。因为虽然每个结论都必须由逻辑链条构建,但给出逻辑链条连接的,却是一个个活生生的人。而只要是人,就会出错。我们只能说,在“同行评审”的审核制度下,这样的出错概率是极低的。

同时,这也是为什么如计算机的工程学科,都会极端强调测试的重要性。无论多么显然的、以为不会出错的结论,都必须要流程式地走一遍测试。因为是人就总是会出错,即便是严密的逻辑推理。你必须引入现实的「测试」作为第三方审核人员,来进一步地降低出错概率。


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